\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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\newcommand\titre[1]{{\large\bfseries\uuline{#1}}\\} 
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{exo}[theorem]{Exercice}
\newcommand{\esp}{\vspace{-15pt}}


\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
 
\begin{document}
\noindent

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion

\setcounter{theorem}{203}

\begin{multicols}{2}%

\label{semaine 1}

\titre{Semaine du 8 au 14 Mars : Calcul de séries}
\begin{exo}[Convergence]
En calculant les sommes partielles, déterminer si les séries de terme général sont convergentes. Le cas échéant, calculer leur somme.
\begin{qmulti}{4}
\item $\ds \sum_{n \geq 0} 2^n$.
\item $\ds \sum_{n \geq 0} n$.
\item $\ds \sum_{n \geq 0} e^{-n}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{1+2^n}{4^{n+1}}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Calcul direct]
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$) :
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n!}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{2^n}{n!}$.
\item $\ds \sum_{n \geq k} \dfrac{\binom{n}{k}}{n!}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Calcul direct]
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$) :
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{3^n}{(n+1)!}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{(-1)^n}{(n+2)!}$.
\item $\ds \sum_{n \geq k} \binom{n}{k} \dfrac{a^k b^{n-k}}{n!}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Telescopage]
En calculant les sommes partielles, déterminer si les séries de terme général sont convergentes. Le cas échéant, calculer leur somme.
\begin{qmulti}{2}
\item $\ds \sum_{n \geq 2} \ln \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)$.
\item $\ds \sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{n(n-1)}$. 
\end{qmulti}
Pour la deuxième, montrer que $\dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}$. 
\end{exo}
\esp

\begin{exo}[Somme dérivée]
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$) :
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n(n-1)}{6^n}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{n^2 +1}{4^n}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{(-1)^n n}{2^n}$.
\end{qmulti}
\end{exo}
\esp

\begin{exo}[Somme dérivée]
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$) :
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{n \geq 0} \dfrac{n^2 + n +1}{n!}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{n(n+1)}{5^n}$.
\item $\ds \sum_{n \geq 2} n (-1)^n x^{n-2} $.
\end{qmulti}
\end{exo}


\label{semaine 2}

\titre{Semaine du 15 Mars au 21 Mars}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $x^3 + 3x^2 - 3x -1 \leq 0 $.
\item $(\ln(x))^2 + 3 \ln(x) - 4 < 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $ u_0 = e $ et $u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{2} \ln(u_n)$. Démontrer par récurrence que $u_n \in [1,e]$. Puis démontrez (en utilisant l'IAF) que $|u_{n+1}-1| \leq  \dfrac{1}{2} |u_n -1|$. Montrez enfin que $|u_n - 1| \leq \dfrac{1}{2^n} (e-1)$
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes ]
Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies ?
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\alpha + a_k) = \alpha + \sum_{k=1}^n a_k$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \alpha a_k = \alpha \sum_{k=1}^n a_k$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k + b_k = \sum_{k=1}^na_k + \sum_{j=1}^n b_j$.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^n (a_k)^\alpha = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^{\alpha}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
On dispose d'une pièce dont la probabilité d'obtenir Pile est $p \in ]0,1[$.On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus lors des $n$ premiers lancers. Déterminer la loi de $X_n$, son espérance et sa variance.    
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} \dfrac{e^x + x + \ln(x)}{e^x -1} $.
\item $\lim\limits_{x \to \ln(2)}  \dfrac{e^{2x} -e^x - 2}{e^x - 2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Système]
Résoudre le système en fonction de $\lambda$ 
\begin{center}
$(E_{\lambda}): \; \left\{ \begin{array}{rcl}
(3 - \lambda)x + y & = & 0 \\
3x + (1- \lambda)y & = & 0 \\
\end{array} \right. $
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrales]
Calculer les intégrales suivantes :
\begin{qmulti}{3}
\item $\displaystyle \int_{1}^{e} - \dfrac{3}{x} dx$.
\item $\displaystyle \int_{1}^{4} \dfrac{\ln(x)}{x}  dx$.
\item $\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} \dfrac{2x}{x^2 -1} dx$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\newpage


\label{semaine 3}

\titre{Semaine du 22 Mars au 28 Mars}


\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\begin{qmulti}{2}
\item $x^3 + x^2 - 2 > 0 $.
\item $e^{2x} -4 < 0 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
{\it Récurrence difficile}. Soit $x \in \R$ tel que $x + \frac{1}{x} \in \Z$. Montrer par une récurrence double que pour tout $n \in \N$, $x^n + \frac{1}{x^n} \in \Z$. 
\end{exo}

\begin{exo}[Probabilité]
Soit $n \in \N^*$. Une entreprise dispose d'un lot de $n$ feuilles numérotées $1,2, \ldots, n$. Elle photocopie ces $n$ feuilles et veut agrafer chaque copie avec son original. Suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les $n$ originaux et les $n$ copies. L'entreprise place donc les $n$ originaux et les $n$ copies dans une boite. Une personne est chargé du travail suivant : Elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S'il s'agit d'un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon elle les remet dans la boite et recommence. On note $A_n$ l'évènement "A l'issue de la première pioche, le deux feuilles piochées ne sont pas agrafées". Calculez $P(A_n)$.  
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} x^3 - \ln(x) + 2 $.
\item $\lim\limits_{x \to 0}  \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 +1} - 1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Système]
 Résoudre le système selon les valeurs de $\lambda$ $\left\{ \begin{array}{rcl}
(1-\lambda)x +2y -z & = & 0 \\
-2x - (3+\lambda)y + 3z & = & 0 \\
x + y -(2+\lambda) z & = & 0
\end{array} \right. $
\end{exo}

\begin{exo}[Intégrales]
Donnez le résultat des intégrales suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{1}^{2}  \dfrac{(\ln(x))^2}{x} dx$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{t^3}{t^4 +1}  dt$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{1} t^7 e^{t^4} dt$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Série]
Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{+ \infty} \dfrac{5^k}{k!} $.
\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{+ \infty} k\left( \dfrac{1}{4} \right)^{k+1} $.
\item $\displaystyle \sum_{k=1}^{+ \infty} k^2 \dfrac{2^k}{k!}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}


\label{semaine 4}

\titre{Semaine du 5 au 11 Avril : Calcul d'intégrale}


\esp
\begin{exo}[Intégrales]
Donnez le résultat des intégrales suivantes (en trouvant une primitive) :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}} dt$.
\item $\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{e^t}{2+e^t}  dt$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{2} xe^{2x} dx$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Intégrales]
Donnez le résultat des intégrales suivantes (en trouvant une primitive) :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{\ln^n(t)}{t} dt$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{\ln(2)} \dfrac{e^t}{\sqrt{2+e^t}}  dt$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^2)e^{x^3} dx$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Intégration par parties]
Donnez le résultat des intégrales suivantes (à l'aide d'une IPP) :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{0}^{1} t e^{-t} dt$.
\item $\displaystyle \int_{1}^{x} \ln(t)  dt$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Intégration par parties]
Donnez le résultat des intégrales suivantes (à l'aide d'une IPP) :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{0}^{1} (t^2 +1) e^{t} dt$.
\item $\displaystyle \int_{1}^{x} \ln^2(t)  dt$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Intégration par changement de variable]
Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable proposé
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{e}^{e^2} \dfrac{1}{t}(\ln t)^2 dt \quad (u= ln(t))$.
\item $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{2+t} \;  dt\quad (t = u^2 - 2)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\esp
\begin{exo}[Intégration par changement de variable]
{\small Calculer les intégrales suivantes à l'aide du changement de variable proposé}
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \int_{0}^2 \dfrac{t^2}{t^3+8} dt \quad (u= t^3 +8)$.
\item $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{1}{t(t+1) }  dt\quad \left( u = \dfrac{t}{t+1} \right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Sommes de Riemann]
Déterminer les limites de chacune des suites suivantes :
\begin{qmulti}{2}
\item $u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + k^2}$
\item $v_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2kn}}$
\end{qmulti}
\end{exo}

\newpage
\label{semaine 5}

\titre{Semaine du 12 au 18 Avril : VA, ECRICOME}

Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l'intermédiaire de deux serveurs : le serveur $A$ ou le serveur $B$. On constate que le serveur $A$ est choisi dans 70\% (c'est-à-dire que la probabilité pour que le serveur $A$ soit choisi est de $0.7$). Les choix des serveurs sont supposés indépendants les uns des autres. \\

Dans les exercices 224 et 225, on suppose que la probabilité d'une erreur de 	transmission avec le serveur $A$ est de $0.1$, alors que la probabilité 	d'erreur de transmission avec le serveur $B$ est de $0.05$.
\begin{exo}
Calculer la probabilité pour qu'il y ait une erreur de transmission lors de l'envoi d'un courrier.
\end{exo}

\begin{exo}
Si le courrier a subi une erreur de transmission, quelle est la probabilité pour que le serveur utilisé soit le serveur $A$ ?
\end{exo}

Un jour donné, appelé le jour 1, on note les différents serveurs utilisé par l'ordinateur par une suite de lettres. Par exemple, la suite $AABBBA\dots $ signifie que les deux premiers jours l'ordinateur a choisi le serveur $A,$ les jours 3. 4 et 5 il a choisi le le serveur $B$, et le jour 6 le serveur $A$. Dans cet exemple, on dit que l'on a une première série de longueur 2. On note $L_{1}$ la variable aléatoire représentant la longueur de la première série.

\begin{exo}
Justifier la formule 
$$ \forall k\geq 1\quad P ( L_{1}=k ) = ( 0.3 ) ^{k} (0.7 ) + ( 0.7 ) ^{k} ( 0.3 ) $$
\end{exo}

\begin{exo}
Vérifier par le calcul que  $ \ds \sum_{k=1}^{+\infty } P ( L_{1}=k ) =1 $
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer l'espérance mathématique de $L_{1}.$
\end{exo}

Soit $n\in \N^{\ast }.$ A partir d'un jour donné, que l'on appellera le jour $1,$ on note : $N_{n}$ la variable aléatoire 
	représentant le nombre de fois où l'ordinateur choisit le serveur $A$ pendant les $n$ premiers jours, $T_{1}$ le numéro du jour 
	où pour la première fois le serveur $A$ est choisi et $T_{2}$ le numéro du jour où pour la deuxième fois le serveur $A$ est choisi.

\begin{exo}
 Déterminer les lois de $N_{n}$ et $T_1$, leurs espérances mathématique et leurs variances.
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $ \forall k\ge 2,\quad P ( T_{2}=k ) = ( k-1 )  (0.7 ) ^{2} ( 0.3 ) ^{k-2} $
\end{exo}


\label{semaine 6}

\titre{Semaine du 19 au 25 Avril : Fonctions, ECRICOME}

On considère la fonction $f$ définie par :
$$
\begin{cases}
\forall x\in \R^{+*}, & f( x) =x^{2}-x\ln ( x) -1\\ 
		& f( 0) =-1
\end{cases}
$$

\begin{exo}
Montrer que $f$ est continue sur $\R^{+}$.
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $0$. En donner une interprétation graphique.
\end{exo}

\begin{exo}
Étudier la convexité de $f$ sur $\R^{+*}$, puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de $f( x) $ lorsque $x$ tend vers l'infini.
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x = 1$. 
\end{exo}

\begin{exo}
Tracer la courbe représentative de $f$ et la tangente à cette courbe en $x=1$. 
\end{exo}

\begin{exo}
Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R^{+*}$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.
\end{exo}

\begin{exo}
Quel est le sens de variation de $f^{-1}$ ? Déterminer la limite de $f^{-1}( x) $ lorsque $x$ tend vers l'infini.
\end{exo}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}